Análise de circuitos RL

Hoje é mostrado como fazer a análise de circuitos RL que possuem resistores, chaves e indutores.

Fases de carga e descarga nos circuitos RL

Foi construído este circuito abaixo no simulador Qucs para mostrar as fases de carga e descarga. A fonte V1 simula uma fonte DC de onda quadrada com período de 200 μs. Os primeiros 100 μs são a fase de carga e a outra metade do tempo é a fase de descarga.

Executando a simulação, temos os seguintes gráficos.

Em circuitos RL, a constante de tempo é calculada dividindo a indutância pela resistência. Neste circuito, o período é 10 μs.

$\tau =\frac{L}{R}$

Equações da fase de carga

No período transitório de carga, a corrente no indutor segue a equação abaixo.

$i(t)=\frac{U}{R1}(1-e^{\frac{-t}{\tau }})$

Esta é a equação da tensão no indutor.

$v_{L}(t)=U\cdot e^{\frac{-t}{\tau }}$

A tensão no resistor.

$v_{R}(t)=U\cdot(1-e^{\frac{-t}{\tau }})$

No circuito acima, as equações ficam da seguinte forma.

$i(t)=1m\cdot(1-e^{\frac{-t}{10\mu }})[A]$

$v_{L}(t)=20\cdot e^{\frac{-t}{10\mu}}[V]$

$v_{R}(t)=20\cdot (1-e^{\frac{-t}{10\mu }})[V]$

Equações da fase de descarga

As equações da corrente e da tensão no indutor durante a fase de descarga.

$i(t)=\frac{U}{R1}\cdot e^{\frac{-t}{\tau}}$

$v_{L}(t)=V_{L}\cdot e^{\frac{-t}{\tau}}$

$V_{L}$ é a soma de todas as tensões dos resistores na mesma malha do indutor e tem polaridade oposta. Vamos usar este circuito como exemplo.

A chave S1 está fechada, enquanto o indutor é carregado. S1 vai abrir em 10 μs e o indutor L1 será descarregado. Esta é a simulação da tensão no indutor, a curva vermelha no gráfico a seguir, mostrando quando S1 é aberta.

Neste circuito, $V_{L}$ é calculado desta forma.

$V_{L}=-(V_{R1}+V_{R2})$

$V_{R1}$ e $V_{R2}$ valem 10,38 V e 51,9 V respectivamente. Portanto $V_{L}$ é -62,28 V. A equação da tensão de descarga é:

$v_{L}(t)=-62,28\cdot e^{\frac{-t}{0,833\mu }}[V]$

Valores iniciais

Em alguns problemas os indutores possuem uma corrente inicial $I_{i}$. Este valor pode ser determinado calculando a corrente que passa pelo indutor e considerando este como um curto circuito, ou é dado pelo problema. A equação é:

$i_{L}(t)=I_{f}+(I_{i}-I_{f})e^{\frac{-t}{\tau}}$

$I_{f}$ é a corrente do estado estacionário após a transição. Considera-se que os circuitos RL e RC obtenham o estado estacionário depois de 5 constantes de tempo.

Aplicação do Teorema de Thévenin

Como analisar circuitos RL mais complexos? É preciso aplicar o Teorema de Thévenin para encontrar a tensão e a resistência equivalentes nos terminais do indutor. O procedimento já foi explicado no post “Teoremas da superposição, Thévenin e Norton”, cujo link está no botão abaixo.

Teorema de ThéveninClique aqui

Aplicando o Teorema de Thévenin, fica muito mais fácil analisar circuitos RL mais complexos.

Calculando a constante de tempo.

$\tau =\frac{L}{R_{Th}}$

Valores instantâneos

Demonstração da fórmula para calcular o valor instantâneo da corrente em um indutor.

$i_{L}=I_{F}+(I_{i}-I_{f})e^{\frac{-t}{\tau}}$

$i_{L}-I_{F}=(I_{i}-I_{f})e^{\frac{-t}{\tau}}$

$e^{\frac{-t}{\tau}}=\frac{i_{L}-I_{f}}{I_{i}-I_{f}}$

$e^{\frac{t}{\tau}}=\frac{I_{i}-I_{f}}{i_{L}-I_{f}}$

Aplicando logaritmo neperiano nos dois lados.

$ln(e^{\frac{t}{\tau }})=ln(\frac{I_{i}-I_{f}}{i_{L}-I_{f}})$

$\frac{t}{\tau }=ln(\frac{I_{i}-I_{f}}{i_{L}-I_{f}})$

$t=\tau ln(\frac{I_{i}-I_{f}}{i_{L}-I_{f}})$

Para calcular o valor instantâneo da tensão no indutor.

$v_{L}=V_{i}e^{\frac{-t}{\tau }}$

$t=\tau \cdot ln{\frac{V_{i}}{v_{L}}}$

Fórmula da energia armazenada em um indutor

$W=\frac{1}{2}LI_{m}$

$W$ é a energia armazenada e $I_{m}$ é a corrente no estado permanente após a carga do indutor.