Além de série e paralelo, as impedâncias também podem fazer ligações em estrela e triângulo (ou delta). Também são mostradas as transformações.
Ligações estrela e triângulo
À esquerda, resistores ligados em triângulo e à direita, em estrela. Fonte: electrical4u .
Algumas fontes chamam conexão delta de pi e estrela de T.
Transformação estrela-triângulo (Y-Δ)
Equações para transformar uma configuração estrela em triângulo.
R a = R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R 1 Ra=\frac{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}} R a = R 1 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3
R b = R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R 2 Rb=\frac{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{2}} R b = R 2 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3
R c = R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R 3 Rc=\frac{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{3}} R c = R 3 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3
Transformação triângulo-estrela (Δ-Y)
Equações para a transformação (Δ-Y).
R 1 = R b R c R a + R b + R c R_{1}=\frac{RbRc}{Ra+Rb+Rc} R 1 = R a + R b + R c R b R c
R 2 = R a R c R a + R b + R c R_{2}=\frac{RaRc}{Ra+Rb+Rc} R 2 = R a + R b + R c R a R c
R 3 = R a R b R a + R b + R c R_{3}=\frac{RaRb}{Ra+Rb+Rc} R 3 = R a + R b + R c R a R b
Se todos os resistores forem iguais, as equações ficam muito mais simples. Considerando R Y R_{Y} R Y como o valor do resistor em estrela e R Δ R_{\Delta } R Δ do resistor em triângulo.
R Y = R Δ 3 R_{Y}=\frac{R_{\Delta }}{3} R Y = 3 R Δ
R Δ = 3 ⋅ R Y R_{\Delta }=3\cdot R_{Y} R Δ = 3 ⋅ R Y
E se em vez de resistores, forem capacitores ou indutores?
Demonstrando a equação da transformação (Δ-Y) para capacitores.
1 c 1 = 1 C 2 C 3 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 \frac{1}{c_{1}}=\frac{\frac{1}{C_{2}C_{3}}}{\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}} c 1 1 = C 1 1 + C 2 1 + C 3 1 C 2 C 3 1
c 1 = C 2 C 3 + C 3 C 1 + C 1 C 2 C 1 c_{1}=\frac{C_{2}C_{3}+C_{3}C_{1}+C_{1}C_{2}}{C_{1}} c 1 = C 1 C 2 C 3 + C 3 C 1 + C 1 C 2
c 2 = C 2 C 3 + C 3 C 1 + C 1 C 2 C 2 c_{2}=\frac{C_{2}C_{3}+C_{3}C_{1}+C_{1}C_{2}}{C_{2}} c 2 = C 2 C 2 C 3 + C 3 C 1 + C 1 C 2
c 3 = C 2 C 3 + C 3 C 1 + C 1 C 2 C 3 c_{3}=\frac{C_{2}C_{3}+C_{3}C_{1}+C_{1}C_{2}}{C_{3}} c 3 = C 3 C 2 C 3 + C 3 C 1 + C 1 C 2
As equações da transformação inversa (Y-Δ) .
1 C 1 = 1 c 1 c 2 + 1 c 1 c 3 + 1 c 2 c 3 1 c 1 \frac{1}{C_{1}}=\frac{\frac{1}{c_{1}c_{2}}+\frac{1}{c_{1}c_{3}}+\frac{1}{c_{2}c_{3}}}{\frac{1}{c_{1}}} C 1 1 = c 1 1 c 1 c 2 1 + c 1 c 3 1 + c 2 c 3 1
C 1 = c 2 c 3 c 1 + c 2 + c 3 C_{1}=\frac{c_{2}c_{3}}{c_{1}+c_{2}+c_{3}} C 1 = c 1 + c 2 + c 3 c 2 c 3
C 2 = c 1 c 3 c 1 + c 2 + c 3 C_{2}=\frac{c_{1}c_{3}}{c_{1}+c_{2}+c_{3}} C 2 = c 1 + c 2 + c 3 c 1 c 3
C 3 = c 1 c 2 c 1 + c 2 + c 3 C_{3}=\frac{c_{1}c_{2}}{c_{1}+c_{2}+c_{3}} C 3 = c 1 + c 2 + c 3 c 1 c 2
E quanto aos indutores, os cálculos são semelhantes aos dos resistores.
Valores equivalentes de Y para Δ.
L R S = L R L S + L S L T + L R L T L T L_{RS}=\frac{L_{R}L_{S}+L_{S}L_{T}+L_{R}L_{T}}{L_{T}} L R S = L T L R L S + L S L T + L R L T
L R T = L R L S + L S L T + L R L T L S L_{RT}=\frac{L_{R}L_{S}+L_{S}L_{T}+L_{R}L_{T}}{L_{S}} L R T = L S L R L S + L S L T + L R L T
L S T = L R L S + L S L T + L R L T L R L_{ST}=\frac{L_{R}L_{S}+L_{S}L_{T}+L_{R}L_{T}}{L_{R}} L S T = L R L R L S + L S L T + L R L T
Valores equivalentes de Δ para Y.
L R = L R S L R T L R S + L R T + L S T L_{R}=\frac{L_{RS}L_{RT}}{L_{RS}+L_{RT}+L_{ST}} L R = L R S + L R T + L S T L R S L R T
L S = L R S L S T L R S + L R T + L S T L_{S}=\frac{L_{RS}L_{ST}}{L_{RS}+L_{RT}+L_{ST}} L S = L R S + L R T + L S T L R S L S T
L T = L S T L R T L R S + L R T + L S T L_{T}=\frac{L_{ST}L_{RT}}{L_{RS}+L_{RT}+L_{ST}} L T = L R S + L R T + L S T L S T L R T
E para as impedâncias .
Conversão de Y para Δ.
Z a c = Z a Z c + Z a Z b + Z b Z c Z b Z_{ac}=\frac{Z_{a}Z_{c}+Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}}{Z_{b}} Z a c = Z b Z a Z c + Z a Z b + Z b Z c
Z a b = Z a Z c + Z a Z b + Z b Z c Z c Z_{ab}=\frac{Z_{a}Z_{c}+Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}}{Z_{c}} Z a b = Z c Z a Z c + Z a Z b + Z b Z c
Z b c = Z a Z c + Z a Z b + Z b Z c Z a Z_{bc}=\frac{Z_{a}Z_{c}+Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}}{Z_{a}} Z b c = Z a Z a Z c + Z a Z b + Z b Z c
Conversão de Δ para Y.
Z a = Z a b Z a c Z a b + Z a c + Z b c Z_{a}=\frac{Z_{ab}Z_{ac}}{Z_{ab}+Z_{ac}+Z_{bc}} Z a = Z a b + Z a c + Z b c Z a b Z a c
Z b = Z a b Z b c Z a b + Z a c + Z b c Z_{b}=\frac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{ac}+Z_{bc}} Z b = Z a b + Z a c + Z b c Z a b Z b c
Z c = Z a c Z b c Z a b + Z a c + Z b c Z_{c}=\frac{Z_{ac}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{ac}+Z_{bc}} Z c = Z a b + Z a c + Z b c Z a c Z b c
3 exemplos de problemas
Vamos encontrar o valor da corrente I neste circuito.
Convertendo a estrela interna em triângulo.
R Δ = 3 ⋅ R Y R_{\Delta }=3\cdot R_{Y} R Δ = 3 ⋅ R Y
R Δ = 3 ⋅ 6 = 18 Ω R_{\Delta }=3\cdot 6=18 \Omega R Δ = 3 ⋅ 6 = 1 8 Ω
3 pares de resistores ficam em paralelo. Basta simplificar o circuito para achar a corrente I.
R t = 9 ⋅ 18 9 + 18 = 6 Ω Rt=\frac{9\cdot 18}{9+18}=6\Omega R t = 9 + 1 8 9 ⋅ 1 8 = 6 Ω
I = 42 6 = 8 A I=\frac{42}{6}=8A I = 6 4 2 = 8 A
Como calcular a corrente I neste circuito?
Substituindo os resistores R1, R2 e R3 com a transformação (Δ-Y).
R a = 4 , 7 k ⋅ 1 , 1 k 4 , 7 k + 1 , 1 k + 6 , 8 k = 5 , 17 k 12 , 6 = 0 , 41 k Ω Ra=\frac{4,7k\cdot 1,1k}{4,7k+1,1k+6,8k}=\frac{5,17k}{12,6}=0,41k\Omega R a = 4 , 7 k + 1 , 1 k + 6 , 8 k 4 , 7 k ⋅ 1 , 1 k = 1 2 , 6 5 , 1 7 k = 0 , 4 1 k Ω
R b = 4 , 7 k ⋅ 6 , 8 k 4 , 7 k + 1 , 1 k + 6 , 8 k = 31 , 96 k 12 , 6 = 2 , 53 k Ω Rb=\frac{4,7k\cdot 6,8k}{4,7k+1,1k+6,8k}=\frac{31,96k}{12,6}=2,53k\Omega R b = 4 , 7 k + 1 , 1 k + 6 , 8 k 4 , 7 k ⋅ 6 , 8 k = 1 2 , 6 3 1 , 9 6 k = 2 , 5 3 k Ω
R c = 1 , 1 k ⋅ 6 , 8 k 4 , 7 k + 1 , 1 k + 6 , 8 k = 7 , 48 k 12 , 6 = 0 , 59 k Ω Rc=\frac{1,1k\cdot 6,8k}{4,7k+1,1k+6,8k}=\frac{7,48k}{12,6}=0,59k\Omega R c = 4 , 7 k + 1 , 1 k + 6 , 8 k 1 , 1 k ⋅ 6 , 8 k = 1 2 , 6 7 , 4 8 k = 0 , 5 9 k Ω
Com o circuito simplificado, fica fácil calcular a corrente.
R t = 9 , 33 k ⋅ 7 , 39 k 16 , 72 k = 4 , 12 k Ω Rt=\frac{9,33k\cdot 7,39k}{16,72k}=4,12k\Omega R t = 1 6 , 7 2 k 9 , 3 3 k ⋅ 7 , 3 9 k = 4 , 1 2 k Ω
I = 8 0 , 41 k + 4 , 12 k = 1 , 76 m A I=\frac{8}{0,41k+4,12k}=1,76mA I = 0 , 4 1 k + 4 , 1 2 k 8 = 1 , 7 6 m A
Como achar a resistência total desta associação de resistores?
Colocando este cubo em um formato que permita visualizar um grupo de resistores para a conversão.
R Y = R Δ 3 = 9 3 = 3 Ω R_{Y}=\frac{R_{\Delta }}{3}=\frac{9}{3}=3\Omega R Y = 3 R Δ = 3 9 = 3 Ω
Convertendo o triângulo à esquerda em estrela.
R a = R b = R 1 ⋅ R 2 R 1 + R 2 + R 7 = 9 ⋅ 12 33 = 3 , 27 Ω R_{a}=R_{b}=\frac{R1\cdot R2}{R1+R2+R7}=\frac{9\cdot 12}{33}=3,27\Omega R a = R b = R 1 + R 2 + R 7 R 1 ⋅ R 2 = 3 3 9 ⋅ 1 2 = 3 , 2 7 Ω
R c = 12 ⋅ 12 9 + 12 + 12 = 4 , 36 Ω R_{c}=\frac{12\cdot 12}{9+12+12}=4,36\Omega R c = 9 + 1 2 + 1 2 1 2 ⋅ 1 2 = 4 , 3 6 Ω
R 7 + R 8 = 12 , 27 Ω R7+R8=12,27\Omega R 7 + R 8 = 1 2 , 2 7 Ω
R 2 + R 6 = 7 , 36 Ω R2+R6=7,36\Omega R 2 + R 6 = 7 , 3 6 Ω
12 , 27 ⋅ 7 , 36 12 , 27 + 7 , 36 = 4 , 6 Ω \frac{12,27\cdot 7,36}{12,27+7,36}=4,6\Omega 1 2 , 2 7 + 7 , 3 6 1 2 , 2 7 ⋅ 7 , 3 6 = 4 , 6 Ω
3 , 27 + 4 , 6 = 7 , 87 Ω 3,27+4,6=7,87\Omega 3 , 2 7 + 4 , 6 = 7 , 8 7 Ω
Finalmente, a resistência total R t Rt R t é:
R t = 9 ⋅ 7 , 87 9 + 7 , 87 = 4 , 19 Ω Rt=\frac{9\cdot 7,87}{9+7,87}=4,19\Omega R t = 9 + 7 , 8 7 9 ⋅ 7 , 8 7 = 4 , 1 9 Ω