Configurações estrela e triângulo

Além de série e paralelo, as impedâncias também podem fazer ligações em estrela e triângulo (ou delta). Também são mostradas as transformações.

Ligações estrela e triângulo

Algumas fontes chamam conexão delta de pi e estrela de T.

Transformação estrela-triângulo (Y-Δ)

Equações para transformar uma configuração estrela em triângulo.

$Ra=\frac{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}$

$Rb=\frac{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{2}}$

$Rc=\frac{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{3}}$

Transformação triângulo-estrela (Δ-Y)

Equações para a transformação (Δ-Y).

$R_{1}=\frac{RbRc}{Ra+Rb+Rc}$

$R_{2}=\frac{RaRc}{Ra+Rb+Rc}$

$R_{3}=\frac{RaRb}{Ra+Rb+Rc}$

Se todos os resistores forem iguais, as equações ficam muito mais simples. Considerando $R_{Y}$ como o valor do resistor em estrela e $R_{\Delta }$ do resistor em triângulo.

$R_{Y}=\frac{R_{\Delta }}{3}$

$R_{\Delta }=3\cdot R_{Y}$

Transformação com capacitores e indutores

E se em vez de resistores, forem capacitores ou indutores? 

Demonstrando a equação da transformação (Δ-Y) para capacitores.

$\frac{1}{c_{1}}=\frac{\frac{1}{C_{2}C_{3}}}{\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}}$

$c_{1}=\frac{C_{2}C_{3}+C_{3}C_{1}+C_{1}C_{2}}{C_{1}}$

$c_{2}=\frac{C_{2}C_{3}+C_{3}C_{1}+C_{1}C_{2}}{C_{2}}$

$c_{3}=\frac{C_{2}C_{3}+C_{3}C_{1}+C_{1}C_{2}}{C_{3}}$

As equações da transformação inversa (Y-Δ).

$\frac{1}{C_{1}}=\frac{\frac{1}{c_{1}c_{2}}+\frac{1}{c_{1}c_{3}}+\frac{1}{c_{2}c_{3}}}{\frac{1}{c_{1}}}$

$C_{1}=\frac{c_{2}c_{3}}{c_{1}+c_{2}+c_{3}}$

$C_{2}=\frac{c_{1}c_{3}}{c_{1}+c_{2}+c_{3}}$

$C_{3}=\frac{c_{1}c_{2}}{c_{1}+c_{2}+c_{3}}$

E quanto aos indutores, os cálculos são semelhantes aos dos resistores.

Valores equivalentes de Y para Δ.

$L_{RS}=\frac{L_{R}L_{S}+L_{S}L_{T}+L_{R}L_{T}}{L_{T}}$

$L_{RT}=\frac{L_{R}L_{S}+L_{S}L_{T}+L_{R}L_{T}}{L_{S}}$

$L_{ST}=\frac{L_{R}L_{S}+L_{S}L_{T}+L_{R}L_{T}}{L_{R}}$

Valores equivalentes de Δ para Y.

$L_{R}=\frac{L_{RS}L_{RT}}{L_{RS}+L_{RT}+L_{ST}}$

$L_{S}=\frac{L_{RS}L_{ST}}{L_{RS}+L_{RT}+L_{ST}}$

$L_{T}=\frac{L_{ST}L_{RT}}{L_{RS}+L_{RT}+L_{ST}}$

E para as impedâncias.

Conversão de Y para Δ.

$Z_{ac}=\frac{Z_{a}Z_{c}+Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}}{Z_{b}}$

$Z_{ab}=\frac{Z_{a}Z_{c}+Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}}{Z_{c}}$

$Z_{bc}=\frac{Z_{a}Z_{c}+Z_{a}Z_{b}+Z_{b}Z_{c}}{Z_{a}}$

Conversão de Δ para Y.

$Z_{a}=\frac{Z_{ab}Z_{ac}}{Z_{ab}+Z_{ac}+Z_{bc}}$

$Z_{b}=\frac{Z_{ab}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{ac}+Z_{bc}}$

$Z_{c}=\frac{Z_{ac}Z_{bc}}{Z_{ab}+Z_{ac}+Z_{bc}}$

3 exemplos de problemas

Vamos encontrar o valor da corrente I neste circuito.

Convertendo a estrela interna em triângulo.

$R_{\Delta }=3\cdot R_{Y}$

$R_{\Delta }=3\cdot 6=18 \Omega$

3 pares de resistores ficam em paralelo. Basta simplificar o circuito para achar a corrente I.

$Rt=\frac{9\cdot 18}{9+18}=6\Omega$

$I=\frac{42}{6}=8A$

Como calcular a corrente I neste circuito?

Substituindo os resistores R1, R2 e R3 com a transformação (Δ-Y).

$Ra=\frac{4,7k\cdot 1,1k}{4,7k+1,1k+6,8k}=\frac{5,17k}{12,6}=0,41k\Omega$

$Rb=\frac{4,7k\cdot 6,8k}{4,7k+1,1k+6,8k}=\frac{31,96k}{12,6}=2,53k\Omega$

$Rc=\frac{1,1k\cdot 6,8k}{4,7k+1,1k+6,8k}=\frac{7,48k}{12,6}=0,59k\Omega$

Com o circuito simplificado, fica fácil calcular a corrente.

$Rt=\frac{9,33k\cdot 7,39k}{16,72k}=4,12k\Omega$

$I=\frac{8}{0,41k+4,12k}=1,76mA$

Como achar a resistência total desta associação de resistores?

Colocando este cubo em um formato que permita visualizar um grupo de resistores para a conversão.

$R_{Y}=\frac{R_{\Delta }}{3}=\frac{9}{3}=3\Omega$

Convertendo o triângulo à esquerda em estrela.

$R_{a}=R_{b}=\frac{R1\cdot R2}{R1+R2+R7}=\frac{9\cdot 12}{33}=3,27\Omega$

$R_{c}=\frac{12\cdot 12}{9+12+12}=4,36\Omega$

$R7+R8=12,27\Omega$

$R2+R6=7,36\Omega$

$\frac{12,27\cdot 7,36}{12,27+7,36}=4,6\Omega$

$3,27+4,6=7,87\Omega$

Finalmente, a resistência total $Rt$é:

$Rt=\frac{9\cdot 7,87}{9+7,87}=4,19\Omega$