Teoremas booleanos

Os teoremas booleanos são um conjunto de regras da álgebra booleana para simplificar as expressões lógicas dos circuitos combinacionais.

Post sobre circuitos combinacionaisClique aqui

A álgebra booleana é uma ferramenta matemática fundamental para a computação digital, onde as variáveis e as funções têm apenas valores binários de “0” ou “1”. Foi introduzida em 1854 pelo matemático britânico George Boole. Nesta álgebra, o sinal de adição (+) representa a operação lógica OU e o sinal de multiplicação ($\times$ ou $\cdot$) representa a operação lógica E.

Teoremas booleanos com uma variável

Toda variável é representada por uma letra, a negação desta variável geralmente é representada por um traço encima da letra. Por exemplo, $\overline{A}$ é a negação de $A$, portanto, $\overline{A}$ sempre terá o valor binário inverso de $A$. Eis a lista de teoremas com apenas uma variável.

• $A+0=A$

• $A+1=1$

• $A+A=A$

• $A+\overline{A}=1$

• $A\cdot 0=0$

• $A\cdot 1=A$

• $A\cdot A=A$

• $A\cdot\overline{A}=0$

Teoremas booleanos com duas ou três variáveis

• $A+B=B+A$
• $A\cdot B=B\cdot A$
• $A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C$
• $A(BC)=(AB)C=ABC$
• $A(B+C)=AB+AC$
• $(A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD$
• $A+AB=A$
• $A+\overline{A}B=A+B$
• $\overline{A}+AB=\overline{A}+B$

Teoremas de De Morgan

Estes são muito úteis na manipulação de expressões lógicas.

$\overline{(A+B)}=\overline{A}\cdot \overline{B}$

$\overline{(A\cdot B)}=\overline{A}+\overline{B}$

Comprovando os teoremas de De Morgan com uma tabela verdade e considerando todas as possibilidades.

$\overline{(A+B)}=\overline{A}\cdot \overline{B}$

$\overline{(A\cdot B)}=\overline{A}+\overline{B}$

Para que servem os teoremas booleanos?

Com estes teoremas, os circuitos combinacionais podem ser simplificados para que tenham apenas um tipo de porta lógica como a NAND ou a NOR, visto que os circuitos integrados comerciais de portas lógicas usam apenas um tipo de porta.