Análise de circuitos RC

Neste post é mostrado como analisar circuitos RC, ou seja, com resistores e capacitores.

Fase de carga

Vamos considerar o circuito abaixo. Neste simulador, eu usei um gerador de pulso com um período longo para simular uma fonte DC com uma chave que fecha no instante t=0.

O capacitor não permite a variação abrupta de tensão, existe um período transitório de carga do capacitor. Durante a fase de carga, a tensão no capacitor obedece a esta curva em azul no gráfico a seguir. O sinal da fonte é em vermelho.

E este é o gráfico da corrente.

A tensão no capacitor segue esta equação.

$V_{C}(t)=V1(1-e^{\frac{-t}{\tau}})$

• $V_{C}(t)$ é a tensão no capacitor em função do tempo.
• $V1$ é a tensão da fonte DC.
• $\tau$ é a constante de tempo calculada desta forma.

$\tau=RC$

A corrente no capacitor $I_{C}(t)$ segue esta equação.

$I_{C}(t)=\frac{V1}{R}e^{\frac{-t}{\tau}}$

Fase de descarga

A fonte de pulso deste circuito foi ajustada para começar com 6 V e mudar para 0 V. Simulando uma chave abrindo em t=0.

O gráfico da tensão de descarga no capacitor em vermelho.

A corrente de descarga no capacitor e a fórmula respectivamente.

$I_{C}=-\frac{V1}{R}e^{\frac{-t}{\tau }}$

Valores iniciais

Em algumas situações de análise de circuitos RC, o capacitor já possui uma carga. Neste caso, deve usar esta equação abaixo. $V_{i}$ é a tensão inicial antes da carga e $V_{f}$ é a tensão final após a carga.

$V_{C}(t)=V_{f}+(V_{i}-V_{f})e^{\frac{-t}{\tau}}$

Se $V_{i}$ for igual a zero, fica igual a equação de carga do capacitor.

$V_{C}(t)=V_{f}+(0-V_{f})e^{\frac{-t}{\tau}}$

$V_{C}(t)=V_{f}(1-e^{\frac{-t}{\tau}})$

Curva da tensão no gráfico, aqui o capacitor tem alguma tensão inicial. Neste caso começa em 2 V.

O gráfico da corrente é o mesmo do caso sem carga inicial no capacitor. Para calcular a corrente de pico $I_{p}$.

$I_{p}=\frac{V1-V_{C}}{R}$

Valores instantâneos

Como determinar a tensão ou a corrente de um capacitor em um determinado instante de tempo? Fazendo a demonstração para obter a fórmula.

$V_{C}=V_{f}+(V_{i}-V_{f})e^{\frac{-t}{\tau}}$

$V_{C}-V_{f}=(V_{i}-V_{f})e^{\frac{-t}{\tau}}$

$\frac{1}{e^{\frac{-t}{\tau}}}=\frac{V_{i}-V_{f}}{V_{C}-V_{f}}$

$e^\frac{t}{\tau}=\frac{V_{i}-V_{f}}{V_{C}-V_{f}}$

Aplicando logaritmo neperiano nos dois lados.

$ln(e^{\frac{t}{\tau}})=ln(\frac{V_{i}-V_{f}}{V_{C}-V_{f}})$

$\frac{t}{\tau}=ln(\frac{V_{i}-V{f}}{V_{C}-V_{f}})$

Esta é a equação para calcular o instante de tempo em um valor $V_{C}$.

$t=\tau ln(\frac{V_{i}-V{f}}{V_{C}-V_{f}})$